Chętnie pomogę w dowodzie tego wzoru. Aby pokazać, że pole trójkąta A równa się r_a(s-a), gdzie r_a to promień okręgu dopisanego do boku a, a s to połowa obwodu trójkąta, możemy skorzystać z kilku klasycznych wzorów i własności trójkątów.
- a,b,c to długości boków trójkąta.
- s= (a + b + c)/(2) to połowa obwodu trójkąta (półobwód).
- r_a to promień okręgu dopisanego do boku a.
- A to pole trójkąta.
Z wzoru Herona wiemy, że pole trójkąta A można wyrazić jako:
A=(s(s−a)(s−b)(s−c)) ^ 0.5 (Znak ^ oznacza tutaj potęgowanie do 0,5, czyli pierwiastek kwadratowy z tych wartości)
Promień okręgu dopisanego r_a jest promieniem okręgu, który jest styczny do boku a i przedłużeń pozostałych boków. Wzór na promień okręgu dopisanego do boku a jest:
r_a = A/(s - a)
Chcemy udowodnić, że:
A = r_a*(s−a)
Korzystamy z wzoru na promień okręgu dopisanego:
r_a = A/(s-a)
Pomnóżmy obie strony równania przez s−a:
r_a*(s-a) = A
W ten sposób mamy:
A = r_a(s-a)
Co udowadnia, że wzór jest prawidłowy.
Trzymaj kilka kroków i wskazówek, które powinny Ci pomóc:
Przypomnij sobie wzór Herona:
A = [s(s−a)(s−b)(s−c)] ^ 0.5
Zapamiętaj wzór na promień okręgu dopisanego r_a, który jest dany jako:
r_a = A/(s-a)
- Najpierw, zapisz wzór na promień okręgu dopisanego.
- Następnie pomnóż obie strony tego równania przez s−a.
- Porównaj otrzymany wynik z wyrażeniem na pole trójkąta A
Zacznij od przypomnienia sobie, co oznaczają pojęcia takie jak: promień okręgu dopisanego, pole trójkąta i połowa obwodu trójkąta.
W tym przypadku prawdopodobnie trzeba będzie użyć wzoru Herona, który używa długości wszystkich trzech boków oraz połowy obwodu trójkąta.
Jeśli wyrazisz promień okręgu dopisanego w postaci wzoru, który łączy pole trójkąta i połowę obwodu, to można przekształcić ten wzór, aby uzyskać poszukiwane równanie na pole trójkąta.
Cały dowód sprowadza się do pokazania, że dwa różne sposoby obliczania pola trójkąta prowadzą do tego samego wyniku